بهینه سازی سبد از طریق روش PQM (بخش 1)

جستجو برای یک ساختار مطلوب از دارائی ها در یک سبد به هیچ عنوان یک موضوع ساده نیست. از یک سو این موضوع بسیار به پارامترهای دارائی ها درون سبد بستگی دارد و از سوی دیگر به محدویت ها و اولویت های شخصی سرمایه گذار بستگی دارد. هرچند تئوری مالی مدرن و روش های تجاری و تحلیلی جدید بطور قابل توجهی این روند را ساده کرده اند. 
روش قیمت دهی سبد می تواند مثال خوبی باشد از اجرای تئوری سبد دارائی های مدرن که امکان ایجاد و تحلیل انواع گوناگونی از سبدهای متشکل از گسترۀ وسیعی از دارائی ها را می دهد. نکتۀ دیگر اینکه مقدار قابلیت های تحلیل فقط به پیروی از تغییرات در قیمت قطعی سبد بستگی ندارد بلکه به بررسی رفتار سبد در ارتباط با تمام بازار یا بطور مثال با یک سبد جایگزین بستگی دارد که امکان اتخاذ به موقع را فراهم می کند. حاصل این روش، ایجاد یک واحد مالی جدید است - یعنی ابزار ترکیبی (با نام تکنیکی PCI - ابزار ترکیبی شخصی).

In this article we will focus on a set of 6 US stocks, which at first sight have shown relatively good results in recent years. Through GeWorko method we have built a portfolio, showing considerable growth in the post - crisis period. Our selection (with corresponding random weights) consists of:

در این مقاله به 6 سهام ایالات متحده توجه داریم که در سال های اخیر نتایج خوبی داشتند. از طریق روش GeWorko که با استفاده از آن سبد را ایجاد کرده ایم، رشد قابل توجهی در دورۀ بعد از بحران نشان مشخص می شود. انتخاب ما (با تعیین تصادفی وزن ها) شامل شرکت های زیر می شود:

1. Walt Disney Company (DIS – 20%)
2. Home Depot Inc. (HD – 20%)
3. Honeywell International Inc. (HON – 15%)
4. International Business Machines Corporation (IBM – 15%)
5. Coca-Cola Company (KO – 10%)
6. McDonald’s Corporation (MCD – 20%)

هنگام مقایسۀ نوسانات سبد با بازار (شاخص میانگین صنعتی داوجونز به نوعی نماد بازار است و تمام سهام فهرست شده را شامل می شود) نتیجه این می شود که سبد پیش از بحران، در خلال بحران و در زمان بهبود آن عملکردی بهتر از شاخص داشته است. نمودار PCI که ظرف چند ثانیه شکل می گیرد، به خوبی رفتار سبد در ارتباط با شاخص را نشان می دهد:

علی رغم انتخاب وزن کاملاً تصادفی در سبد، هنوز از مطلوب بودن آن آگاه نیستیم، به عبارت دیگر، اگر ضرایب تاثیر وزن دیگر وجود داشته باشند، در سطح یکسان از بازده یا بازدۀ بالاتر در سطح یکسان خطر، خطر کمتری را ایجاد می کند. اگر سعی کنیم که چنین سبدی را پیدا کنیم نتیجه سبدی خواهد شد که نسبت به سبدی که دارای ضرایب وزن تصادفی است برای یک سرمایه گذار منطقی مورد قبول تر است. هرچند، همانطوریکه که در بالا گفته شد، تعیین میزان بهینه شدن سبد برای یک سرمایه گذار به محدودیت ها و اولویت های فردی خود سرمایه گذار بستگی دارد. ما بدون ملزومات دقیق برای وضعیت بازده-خطر سبد نمی توانیم بطور مثال بدانیم که آیا یک سبد با یک بازدۀ بالاتر و البته با یک خطر بالاتر می تواند از سبد اول مطلوب تر باشد یا خیر. در این صورت یک سبد مطلوب برای اهداف تحلیلی سبدی است که به ازای هر واحد از خطر بیشترین میزان بازده را داشته باشد. آن شاخص به عنوان نسبت شارپ (Sharpe) شناخته می شود.

بر خلاف نسخۀ قدیمی که ارتباط نفع خطر را بالای نرخ بدون خطر با انحراف استاندارد نشان می دهد، ما ارتباط بازدۀ سبد با انحراف استاندارد سبد را بدون تطبیق برای نرخ بدون خطر به حداکثر خواهیم رساند. این سهولت بر کیفیت نتایج تاثیر نخواهد گذاشت و امکان مقایسۀ تاثیر سبدهای سرمایه گذاری جایگزین را فراهم خواهد کرد.

ابتدا، به سبد اولیه برمی گردیم که در آن وزن ها به شکل تصادفی انتخاب شده اند و پارامترهای خطر و بازده اش را تعیین می کند. تحلیل سبد بر اساس داده های ماهیانۀ قیمت های بسته شدۀ سهام شش شرکت در زمان نمونۀ ژانویۀ 2005 - آوریل 2014 خواهد بود. از آنجائیکه هدف اولیه مقایسۀ نوسانات سبد با شاخص (بازار) بوده است، تصمیم گرفتیم تا از روشی که اندکی با استاندارد فاصله دارد استفاده کنیم و قیمت بسته شدن ماهیانۀ سهام را تطبیق دهیم و منطبق بر مقادیر شاخص آنها را تقسیم بندی کنیم. بر اساس بازده های لگارتیمی بازده های مبتنی بر میانگین و انحراف های استاندارد بازده ها برای شش ردیف از داده ها را محاسبه کرده ایم:

جدول 1: بازده های مبتنی بر میانگین، انحراف های استاندارد و نسبت های شارپ برای شش ردیف از آمار

نتیجه این می شود که بزرگترین بازدۀ میانگین ماهیانه (0.77%) (در مقایسه با شاخص) توسط سهام MCD نشان داده شده است، کمترین (0.24%) نیز توسط سهام HD نشان داده شده است. کمترین انحراف استاندارد (3.95%) توسط سهام KO و بیشترین (5.73%) توسط سهام HD نشان داده می شود. ضمناً، نسخۀ ساده شدۀ نسبت شارپ را محاسبه کرده ایم که ارتباط بین بازدۀ دارائی به خطر را نشان می دهد. سهام MCD بالاترین ضریب (0.19) را دارا است که بهترین نسبت بازده به ازای واحد خطر را نشان می دهد. این حقیقت به ما امکان می دهد که سهام MCD را سهامی بدانیم که در یک سبد "مطلوب" (بهینه شده) بالاترین ضریب وزن را نشان می دهد. ما برای ادامۀ تحلیل باید بدانیم که ارتباط متقابل دارائی ها به چه شکل است - ضرایب كوواريانس استفاده خواهند شد. ماتریکس كوواريانس در همان دادۀ ماهیانۀ نمونه محاسبه می شود.

ما با دارا بودن تمام پارامترهای ورودی لازم و با در نظر گرفتن اینکه مقادیر به دست آمده از بازده و انحراف استاندارد برای شش سهم به بهترین تخمین های مربوط بازده ها و خطرات مورد انتظار رسیده اند، می توانیم ایجاد سبدها را آغاز کنیم. یادآوری می شود که دادۀ ورودی همینک برای مقدار شاخص تطابق یافته است. به همین دلیل است که سبدهایی که باید به دست آوریم بازتاب دهندۀ رفتار در ارتباط با بازار خواهند بود.

اولین سبد (P1) نقطۀ شروعی خواهد بود برای جستجو برای ترکیب های موفق تر از دارائی ها. این سبدی است با ضرایب وزن تصادفی، نمودار قیمت اش از ابتدا آماده است. ما با آگاه بودن از پارامترهای خطر و بازگشت از شش سهام که در سبد هستند و با آگاه بودن از وزن های شان و ماتریکس كوواريانس می توانیم بازدۀ میانگین ماهیانۀ سبد و انحراف استانداردش را محاسبه کنیم. براحتی می توان دید که بوسیلۀ ترکیب دارائی ها به کاهش چشمگیر خطر دست پیدا می کنیم. انحراف استاندارد سبد P1 فقط 1.74% است و بازده – 0.46% است:

جدول 2: بازده های واقعی، انحراف های استاندارد و نسبت های شارپ در ارتباط با سبد P1

بعلاوه، در مقایسه با هر کدام از شش سهم، سبد به ازای هر واحد خطر بازدهی بالاتر دارد که توسط نسبت شارپ (0.26) تائید می شود و در نهایت کارایی سبد را تعیین می کند.

اکنون با آگاهی از خصوصیات سبد تصادفی می توانیم جستجو برای چنین ترکیبی از دارائی ها را آغاز کنیم که بهترین انطباق را با محدودیت ها و اولیت های ما خواهد داشت. همانطوریکه گفته شده است نسبت شارپ را به عنوان معیار پایۀ بهینه سازی انتخاب کرده ایم. ما با تغییر وزن های شش سهم که سبد را شکل داده اند، باید چنین ترکیبی را پیدا کنیم که منتج به بالاترین نرخ ممکن بازده به خطر خواهد شد. تنها شرایط بهینه سازی ای که تنظیم می کنیم این است که ضرایب وزن نباید از صفر کمتر باشند و جمع شان باید برابر با 100% باشد ، به این ترتیب امکان مقایسه سبدها حفظ خواهد شد.

راه حل ما را به سمت ترکیب سبد به این شکل سوق می دهد: همانطوریکه انتظار داشتیم، سهام MCD بیشترین وزن را گرفتند (32.67%) چراکه بالاترین نسبت شارپ را داشتند. سپس به ترتیب نزولی برای وزن، این سهام قرار دارند: DIS (19.33%), HON (19.04%), HD (10.96%), KO (10.28%) و IBM (7.71%):

در نتیجه، سبد (P2) با تغییر وزن ها به حداکثر نسبت شارپ به دست می آید که نسبت به سبدی که دارای ضرایب وزن اتفاقی است (P1) بطور واضحی عملکرد بهتری دارد:

جدول 3: بازدهی های واقعی، انحراف های استاندارد و نسبت های شارپ در ارتباط با سبدهای P1 و P2

نسبت شارپ حداکثر شده برای P2 برابر بود با 0.3. این مقدار از نسبت برای P1 (0.26) و برای سهام های فردی بالاتر است. ضمناً هم پارامترهای بازده (0.52%) و هم پارامترهای انحراف استاندارد (1.72%) کاملاً بهتر هستند. نتیجه این است که سبدی که با حداکثر سازی نسبت شارپ شکل گرفته است همیشه برای یک سرمایه منطقی مطلوب تر است (پیش فرض تحلیل مان را یادآور می شویم که بازده ها و خطرات واقعی، بهترین تخمین شان هستند).

ما با وارد کردن ضرایب وزن به دست آمده برای شش سهم در مظنه و قیمت گذاری آن در برابر یک سبد با مقدار مشابه، با استفاده از مدل PCI می توانیم سبدی "مطلوب" (بهینه شده) که فقط شامل شاخص میانگین صنعتی داوجونز می شود را بسازیم (نمودار را ملاحظه نمایید).

ما در حالت قبلی سبد "تصادفی" P1، به ساختاری که طی 7 سال اخیر دائماً صعودی بوده است دست پیدا کردیم ضمن اینکه نوسان در هنگام مشکلات اقتصادی بطور قابل ملاحظه ای افزایش پیدا کرده است.

ضمن اینکه تاکید می کنیم که سبد فقط برای ما مطلوب است چراکه نرخ شارپ را به عنوان ملاک پایه برای بهینه سازی انتخاب کرده ایم. ما فقط می توانیم تائید کنیم که با وجود پارامترهای ورودی، هیچ سبد دیگری نیست که برای یک سطح خطر ارائه شده (1.72%) امکان دستیابی به بازده بالاتر (>0.52%) را بدهد و همچنین هیچ سبدی نیست که برای سودآوری ارائه شده (0.52%) کمتر خطرناک (1.72%) باشد. هرچند این امکان وجود دارد که یک سرمایه گذار آماده باشد و بخواهد که قابلیت پذیرش خطر را افزایش دهد تا به نرخ بالاتری از بازده برسد یا برعکس یک سرمایه گذار به دنبال سبدی با حداقل خطر (ریسک) ممکن باشد.

ادامۀ مبحث در "بهینه سازی ساختار سبد از طریق روش PQM ( بخش 2)"